Unas Propiedades de la representación conforme local de una superficie sobre otra

Abstract

Consideremos una representación conforme de una superficie S sobre otra S' y sean P, P' dos puntos homólogos. El problema que vamos a estudiar es de naturaleza «local», es decir, consideramos únicamente la representación conforme entre dos entornos de los puntos P y P'. Sean π y π' los planos tangentes a ambas superficies en P y P' respectivamente. A cada curva C de S que pasa por P corresponde una curva C' de S' por P'; sea Q el centro de curvatura geodésica de C y Q´ el centro de curvatura geodésica de C que es un punto de π'. Al variar C, siempre pasando por P, tenemos así definida una correspondencia entre los planos π y π'. Puesto que cada punto Q de π es centro de curvatura geodésica de curvas de S que pasan por P y la transformación conforme es biunívoca, resulta que dicha correspondencia es también biunívoca y se extiende a todos los puntos de los planos π y π'. El teorema principal que vamos a demostrar es el siguiente: “La correspondencia Q – Q' entre los planos π y π' es una proyectividad”

Let P, P' be two corresponding points in a conformal correspondence (local) between two twice differentiable surfaces S, S'. Π and π ' are the tangent planes at P and P' respectively. Each curve C of S pass through P corresponds a curve C 'of S' for P'; Q is the center of geodesic curvature of C and Q’; the center of geodesic curvature of C is a point of π '. By varying C, always passing through P, we have thus defined a correspondence between the planes π and π '. Since each point Q of π is the center of geodesic curvature of S curves that pass through P and the conformal transformation is one-one, is that such correspondence is also one-one and extends to all points of the planes π and π '. The main theorem we will prove it: "The correspondence Q →Q ' between the planes π and π' is a projective