Unas Propiedades de la representación conforme local de una superficie sobre otra

Santaló, Lluís
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Consideremos una representación conforme de una superficie S sobre otra S' y sean P, P' dos puntos homólogos. El problema que vamos a estudiar es de naturaleza «local», es decir, consideramos únicamente la representación conforme entre dos entornos de los puntos P y P'. Sean π y π' los planos tangentes a ambas superficies en P y P' respectivamente. A cada curva C de S que pasa por P corresponde una curva C' de S' por P'; sea Q el centro de curvatura geodésica de C y Q´ el centro de curvatura geodésica de C que es un punto de π'. Al variar C, siempre pasando por P, tenemos así definida una correspondencia entre los planos π y π'. Puesto que cada punto Q de π es centro de curvatura geodésica de curvas de S que pasan por P y la transformación conforme es biunívoca, resulta que dicha correspondencia es también biunívoca y se extiende a todos los puntos de los planos π y π'. El teorema principal que vamos a demostrar es el siguiente: “La correspondencia Q – Q' entre los planos π y π' es una proyectividad” ​
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