Superficies cuyas curvas D son geodésicas o trayectorias isogonales de las líneas de curvatura

Abstract

Se llaman curvas D de una superficie aquellas cuya esfera osculatriz en cada punto es tangente a la superficie. La ecuación diferencial de estas curvas fue dada por primera vez por Darboüx (1871). En otro trabajo publicado anteriormente (1941), hemos dado una propiedad característica de las curvas D identificándolas con las curvas extrémales de la torsión geodésica total. Como la ecuación diferencial de las curvas D es de 2°orden, lo mismo, por ejemplo, que la ecuación de las, geodésicas o la de las trayectorias isogonales de las líneas de curvatura de una superficie, ocurre preguntar en qué casos dichas curvas coincidirán. A este respecto vamos a demostrar, como objeto principal de este trabajo, los dos teoremas siguientes: 1-. Las únicas superficies cuyas líneas geodésicas son curvas D, son la esfera y el cilindro de revolución. Como caso límite de ambas se puede considerar el plano. 2-. Las únicas superficies cuyas curvas D coinciden con las trayectorias isogonales de las líneas de curvatura son el cono y cilindro de revolución, el toro y las cíclicas de Dupin