Valores medios para polígonos formados por rectas al azar en el plano hiperbólico

Abstract

El problema que queremos resolver es el siguiente: "Consideremos el plano hiperbólico dividido en polígonos por rectes dadas al azar, con una densidad uniforme tal que el valor medio E(A) del área de estos polígonos sea igual a la unidad, E(A) = 1. Se piden los valores medios del número de lados N de cada polígono, del perímetro S de cada polígono y, especialmente, del cuadrado del área de cada polígono". Para el plano euclidiano el problema fue considerado y resuelto por S. A. Goudsmit. Luego fue generalizado al espacio por nosotros y recientemente ha sido nuevamente objeto de estudio y generalización en diversas direcciones por R. E. Miles, P. I. Richards y D. G. Kendall. Estas generalizaciones se refieren a nuevos valores medios para el caso del plano y su extensión al espacio euclidiano de n dimensiones. La generalización al plano hiperbólico presenta cierto interés como nuevo ejemplo del diferente comportamiento de este plano respecto del euclidiano, en cuanto a sus subdivisiones en dominios poligonales. Vamos a resumir los resultados obtenidos y su comparación con el caso euclidiano