Conjuntos de segmentos sobre superficies

Abstract

The sets of segments randomly distributed on the plane have been recently investigated by COLEMAN [1] , [2] , PARKER-COWAN [3] and SANTALO [8] among others. In the present paper, we consider some qüestions analogous to that of PARKER-COWAN for sets of "geodèsic segments" on surfaces, in particular, sets of segments on the sphere and on the hyperbolic plane. We get the mean vàlues of the total length of the part of segments which are interior to a convex set K and the mean value of the intersection points of pairs of segments that are interior to K . For the hypertKJlic plane, we cunsider also the case of segments distributed on the plane according to a process of Poisson

El estudio de conjuntos de segmentos en el plano y en el espacio euclidiano ha dado lugar recientemente a algunos trabajos (COLEMAN [l], [2], PARKER-COWAN [3], SANTALO [s]). El objeto del presente, es ver como algunos de los resultados obtenidos son válidos para conjuntos de "segmentos de geodésica" sobre una superficie, bajo ciertas restricciones. Dado un conjunto convexo K sobre la superficie, que definiremos más adelante, y segmentos de geodésica dados al azar, en el sentido de la Geometría Integral (probabilidad uniforme), se resuelven ciertos problemas de probabilidades geométricas y se calculan ciertos valores medios. En particular: dados al azar n segmentos Si que tienen punto común con K, se calcula el valor medio de la suma de las longitudes de las partes de S. que son interiores a K (1.12) y el valor medio del número de puntos N de intersección de segmentos Si que son interiores a K (1.14).Como superficies particulares se consideran luego los casos dela esfera y de los planos euclidiano e hiperbólico. Para estos últimos se puede suponer que el número de segmentos es infinito, de manera que se extienden sobre todo el plano, formando un proceso de Poisson. También en este caso se estudian los valores medios anteriores