Unas Generalizaciones del teorema de los cuatro vértices

Abstract

Se llaman vértices de una curva plana los puntos en los cuales es nula la derivada de la curvatura, o bien, lo que es lo mismo, los puntos en los cuales el círculo osculador tiene con la curva un contacto de orden superior al segundo. Para las curvas convexas del plano con curvatura derivable en cada punto, vale el famoso «teorema de los 4 vértices», a saber: toda curva cerrada y convexa del plano tiene por lo menos h vértices. Una de las demostraciones más elegantes de este teorema es la de Herglotz , contenida en la Differentialgeomelrie de Blaschke (Vol. I, pág. 31). Ella se presta a generalizar, en cierta manera, el teorema de los 4 vértices a curvas del espacio y a la geometría diferencial afín, como ha sido puesto de manifiesto por Süss. En este trabajo nos proponemos, más simplemente, hallar ciertos tipos de funciones F(s) para las cuales el método de Herglotz permite deducir un mínimo para el número de puntos en los cuales es F'(s) = 0