Generalización de una desigualdad geométrica de Feller

Abstract

Using some results of integral geometry a direct and simple proof of the following inequality of Ueno-Hombu-Naito is obtained. Let D be a measurable domain of the n-dimensional space Sa of constant curvature K= k2 contained in the non-Euclidean sphere of radius a. Suppose that the intersection of D with any r-space Lr has a measure not exceeding a fixed constant ᵷ. Then the inequality (9) holds, where M is the measure of D and On—r—l, Hr.n—r—1 are given by (3) and (2) respectively. This generalizes a geometric inequality of Feller which corresponds to r=1, K=0. For the case r = l a more general inequality is given by (13) which holds for any Riemannian space not necessarily of constant curvature (F = area of a convex hyper surface which contain D)

Sea D un dominio del espacio n-dimensional Sn de curvatura constante K= k2, contenido en una esfera geodésica de radio a. Supongamos que la intersección de D con todo subespacio lineal Lr de r dimensiones de Sn, tanga una medida no superior a un valor constante ᵷ. Ueno- Hombu-Naito[4] han considerado el problema de hallar una acotación de la medida M de D en función de ᵷ y a, generalizando de esta manera un problema análogo considerado por F e l l e r [ l ] , el cual se refería únicamente al caso r = l y al espacio euclidiano K= 0. El objeto de esta nota es ver como se puede llegar al resultado de Ueno- Hombu-Naito de manera mucho más rápida que la seguida por estos autores utilizando fórmulas conocidas de geometría integral. Además en el N.° 4 generalizamos el caso considerado por Feller (r = l) a un espacio de Riemann cualquiera, no necesariamente de curvatura constante